Для заданного фиксированного простого числа p p-ади́ческое число (произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т.п.) — элемент расширения поля рациональных чисел, являющегося пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на р.

p-адические числа были введены Гензелем (нем.) в 1897 году^[1].

Поле p-адических чисел обычно обозначается или .

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Стандартное определение

Целым p-адическим числом для заданного простого p называется бесконечная последовательность вычетов по модулю , удовлетворяющих условию:

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца.

Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых -адических чисел определяется как предел

колец вычетов по модулю относительно естественных проекций .

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа , но и любого составного числа  — получится т. н. кольцо -адических чисел, но это кольцо в отличие от обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства

Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается . Обычные целые числа вкладываются в очевидным образом: и являются подкольцом.

Беря в качестве элемента класса вычетов число (таким образом, ), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое a_n в p-ичной системе счисления и, учитывая, что мы можем всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления . Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенными правилами сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

p-адические числа

Определение как поля частных

p-адическим числом называется элемент поля частных кольца целых p-адических чисел. Это поле называется полем p-адических чисел.

Свойства

Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число некратное p обратимо в кольце , а кратное p однозначно записывается в виде , где x не кратно p и поэтому обратимо, а . Поэтому любой ненулевой элемент поля может быть записан в виде , где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности , то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение

Любое рациональное число можно представить как где и целые числа, не делящиеся на , а  — целое. Тогда  — -адическая норма  — определяется как . Если , то .

Поле -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой , определённой -адической нормой: . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма продолжается по непрерывности до нормы на .

Свойства

• Каждый элемент x поля p-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда

где  — некоторое целое число, а  — целые неотрицательные числа, не превосходящие . А именно, в качестве здесь выступают цифры из записи x в системе счисления с основанием p. Такая сумма всегда сходится в метрике к самому .

• p-адическая норма удовлетворяет сильному неравенству треугольника

• Числа с условием образуют кольцо целых p-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел в норме .
• Числа с условием образуют мультипликативную группу и называются p-адическими единицами.
• Совокупность чисел с условием является главным идеалом в с образующим элементом p.

• метрическое пространство гомеоморфно Канторову множеству, а пространство гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
• Для различных p нормы независимы, а поля неизоморфны.
• Для любых элементов , , , , , … таких, что и , можно найти последовательность рациональных чисел таких, что для любого p и .

Применения

• Если  — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех k сравнения

эквивалентна разрешимости уравнения

в целых p-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях p-адических чисел при всех p, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

На практике для проверки разрешимости уравнения в целых p-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений k. Например, согласно лемме Гензеля (англ.), при достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных k служит наличие простого решения у сравнения по модулю p (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю p). Иначе говоря, при для проверки наличия корня у уравнения в целых p-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при .

Литература

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
• Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
• Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.
• Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.

Ссылки

1. Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6. — № 3. — С. 83—88. (нем.)