Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида , где и — вещественные числа, и . Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел . В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид . Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.
Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами[1], хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.
Содержание |
Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида , для которых определены операции умножения и сложения по правилам:
Числа вида отождествляются при этом с вещественными числами, а число обозначается , после чего определяющие тождества примут вид:
Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом .
Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим . Тогда произвольное дуальное число примет вид
Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:
Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:
При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:
Корень n-й степени из числа вида определяется как:
Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию , область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что
Как известно,
то есть
но, так как все степени больше единицы равны нулю, то
теперь рассмотрим разложение функции в ряд Маклорена (с разложением в ряд Тейлора все аналогично):
Рассмотрим ту же функцию от дуального аргумента
По формуле (1) получаем
Второе слагаемое - ни что иное как разложение в ряд производной функции , то есть
Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.
Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если — бесконечно малое число, то с точностью до кольцо гипердействительных чисел вида изоморфно кольцу дуальных чисел.
Числовые системы | |
---|---|
Счётные множества |
Натуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические |
Вещественные числа и их расширения |
Вещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.) |
Другие числовые системы |
Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа |
См. также | Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион |
Дуальные числа.