Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. Таких окружностей, в отличие от вписанной, для любого треугольника существует ровно 3.

Существование и единственность вневписанной окружности обусловлено тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности.

Свойства

Здесь используются обозначения:  — радиусы вневписанных окружностей с центрами , касающиеся соответственно сторон треугольника; p — полупериметр треугольника; r — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности.

• Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
• Площадь треугольника
• исходный треугольник является ортотреугольником
• барицентрические координаты
• Формула Эйлера для вневписанных окружностей: , где O — центр описанной окружности.
• Радикальный центр вневписанных окружностей — точка Шпикера (центр вписанной окружности срединного треугольника).
• Центры вписанной и вневписанных окружностей — неподвижные точки изогонального сопряжения.
• Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
• Если треугольник вписан в эллипс, фокус которого лежит на стороне этого треугольника, то вневписанная окружность касается этой стороны в фокусе.

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0

См. также

• Вписанная окружность
• Описанная окружность
• Теорема Мансиона
• Теорема Фейербаха