Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Названо в честь Уильяма Сили Госсета, который первым опубликовал работы, посвящённые распределению, под псевдонимом «Стьюдент».

Определение

Пусть ${\displaystyle Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {N} (0,1),\;i=0,\ldots ,n}$. Тогда распределение случайной величины ${\displaystyle t\!}$, где

${\displaystyle t={\frac {Y_{0}}{\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}^{2}}}},}$

называется распределением Стьюдента с ${\displaystyle n\!}$ степенями свободы. Пишут ${\displaystyle t\sim \mathrm {t} (n)\!}$. Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

${\displaystyle f_{t}(y)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,\left(1+{\frac {y^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n+1}{2}}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma \!}$ — гамма-функция Эйлера.

Свойства распределения Стьюдента

• Распределение Стьюдента симметрично. В частности если ${\displaystyle t\sim \mathrm {t} (n)\!}$, то ${\displaystyle -t\sim \mathrm {t} (-n)\!}$.

Моменты

Случайная величина ${\displaystyle t\sim \mathrm {t} (n)\!}$ имеет только моменты порядков ${\displaystyle k<n\!}$, причём

${\displaystyle \mathbb {E} \left[t^{k}\right]=0}$, если ${\displaystyle k\!}$ нечётно;

${\displaystyle \mathbb {E} \left[t^{k}\right]={\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})\Gamma ({\frac {n-k}{2}})n^{k/2}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$, если ${\displaystyle k\!}$ чётно.

В частности,

${\displaystyle \mathbb {E} [t]=0}$,

${\displaystyle \mathrm {D} [t]={n \over n-2}}$, если ${\displaystyle n>2\!}$.

Моменты порядков ${\displaystyle k\geq n}$ не определены.

Связь с другими распределениями

• Распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента: ${\displaystyle \mathrm {t} (1)\equiv \mathrm {C} (0,1)}$.
• Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при ${\displaystyle n\to \infty }$. Пусть дана последовательность случайных величин ${\displaystyle \{t_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$, где ${\displaystyle t_{n}\sim \mathrm {t} (n),\;n\in \mathbb {N} }$. Тогда: ${\displaystyle t_{n}\to \mathrm {N} (0,1)}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$.
• Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть ${\displaystyle t\sim \mathrm {t} (n)}$. Тогда: ${\displaystyle t^{2}\sim \mathrm {F} (1,n)}$.

Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимые случайные величины, такие что ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,n}$. Обозначим ${\displaystyle {\bar {X}}}$ выборочное среднее этой выборки, а ${\displaystyle S^{2}}$ её выборочную дисперсию. Тогда

${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim \mathrm {t} (n-1)}$.

Процентили

Таблицы значений

Таблица значений функций распределения Стьюдента