Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое вращение трёхмерного пространства имеет ось.

Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.

Для заданного единичного вектора n и угла φ обозначим R(φ, n) вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол φ. Тогда:

• R(0, n) — тождественное отображение для любого n
• R(φ, n) = R(−φ, −n)
• R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)

Для любого вращения существует единственный угол φ, для которого 0 ≤ φ ≤ π, при этом:

• n определяется однозначно, если 0 < φ < π
• n любое, если φ = 0
• n определяется однозначно с точностью до знака, если φ = π (то есть, вращения R(π, ±n) одинаковы).

Геометрия группы вращений

Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства SO(3). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.

Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.

Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе вращений пространства SO(3).

См. также

• SO(3)
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера