Допустим, что ряд начинается с положительного числа (в противном случае по приведённому ниже доказательству следует рассматривать сходимость ряда, начинающегося со второго члена).

2n-ая частичная сумма данного ряда равна Так как каждая сумма в скобках неположительна и то отсюда следует ограниченность 2n-ой частичной суммы сверху числом

Также та же 2n-ая сумма равна Каждая сумма в скобках неотрицательна. Отсюда следует неубывание последовательности то есть для любого выполняется

Из первого предложения доказательства эта последовательность ограничена сверху. Значит, существует такое число s, что

Далее, так как и так как то Сумма данного ряда равна где — конечное число. Доказательство сходимости завершено.

Последовательность монотонно возрастающая, так как а выражение неотрицательно при любом целом Последовательность монотонно убывает, так как а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — и — совпадающий предел при Так получено и также Отсюда и Итак, для любого выполняется что и требовалось доказать.