Теорема Вивиани, названная в честь Винченцо Вивиани, утверждает, что сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна высоте треугольника.
Теорема может быть расширена на равносторонние многоугольники и многоугольники с равными углами. В частности, сумма расстояний от точки до прямых, построенных на сторонах многоугольника с равными углами (или равностороннего, не зависит от выбора точки.[1]
Содержание |
Теорема может быть доказана путём сравнения площадей треугольников. Пусть ABC — равносторонний треугольник, в котором h — это высота, и s — длина каждой из сторон. Точка P выбирается произвольно внутри треугольника, и тогда ℓ, m, n — расстояния от точки P до сторон треугольника. Тогда площадь треугольника ABC будет:
Теорема Вивиани позволяет получать координаты точек на трёхкомпонентные диаграммы (англ.) путём проведения линий, параллельных сторонам равностороннего треугольника. В частности, таким образом можно строить диаграммы воспламеняемости (англ.).
В более общем случае, они позволяют таким же образом задавать координаты на правильном симплексе.
Теорема Вивиани.
