В математике, а именно, в теории групп, группа называется свобо́дной гру́ппой, если существует подмножество в , такое что каждый элемент записывается единственным образом как произведение конечного числа элементов и их обратных. (Единственность понимается с точностью до тривиальных комбинаций наподобие .) Говорят, что (свободно) порождена и пишут: или если есть множество из элементов.

Близкое, но отличное понятие: свободная абелева группа (которая не является, вообще говоря, свободной группой).

Явная конструкция

Для формального понятия, которое обсуждалось выше, можно предъявить явную конструкцию (доказав тем самым существование свободных групп)^[1][2]. Будем считать элементы множества «символами» и для каждого символа из введём символ множество последних обозначим . Пусть

Определим слово над как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово , которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над

Пример. . . Два слова,

Их конкатенация:

Напомним, что, к примеру,

Введём теперь правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из следует (предшествует) соответствующий ему символ из то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова (см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово:

Свободной группой порождённой множеством (короче, свободной группой над ) называется группа редуцированных слов над с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).

Свойства

• Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны. При этом мощность множества, порождающего данную свободную группу, называется её рангом.
• Свободная группа изоморфна свободному произведению копий .
• Теорема Нильсена — Шрайера: любая подгруппа свободной группы свободна.
• Любая группа есть факторгруппа некоторой свободной группы по некоторой её подгруппе H. За могут быть взяты образующие . Тогда существует естественный эпиморфизм . Ядро H этого эпиморфизма является множеством соотношений задания .
• Коммутант свободной группы конечного ранга имеет бесконечный ранг. Например, коммутант порождённой двумя элементами свободной группы  — это свободная группа, порождённая всеми коммутаторами

Универсальность

Свободная группа  — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством А именно, для любой группы и любого отображения множеств существует единственный гомоморфизм групп для которого следующая диаграмма коммутативна:

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений и гомоморфизмов Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.

Указанное выше свойство можно принять за определение свободной группы^[3], при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество называется базисом группы Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.

С точки зрения теории категорий, свободная группа — это функтор из категории Set в категорию Grp, являющийся левым сопряжённым для забывающего функтора

Примечания

Литература

• Гл. II, 1.2 // Общая алгебра / Под общей редакцией Л.А. Скорнякова. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — Т. 1. — 592 с.