Ортогональная матрица

Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на A^T равен единичной матрице:^[1]

Содержание

Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

где , n — порядок матрицы, а — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

Определитель ортогональной матрицы равен , что следует из свойств определителей:
Множество ортогональных матриц порядка над полем образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается или (если опускается, то предполагается ).
Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

и $\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix} 0.96 & -0.28 \\ 0.28 & \;\;\,0.96 \\ \end{pmatrix}$ — пример матрицы поворота

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ — пример перестановочной матрицы

↑ Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Линейная алгебра. 4-е изд. М: Наука, 1999. Стр. 158. ISBN 5-02-015235-8.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.