Матрицей поворота (или матрицей направляющих косинусов) называется ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. При умножении любого вектора на матрицу поворота, длина вектора сохраняется. Определитель матрицы поворота положителен (и равен 1).
Обычно считают, что - в отличие от матрицы перехода при повороте системы координат (базиса) - при умножении на матрицу поворота вектора-столбца, координаты вектора преобразуются в соответствии с поворотом самого вектора (а не поворотом координатных осей; то есть при этом координаты повернутого вектора получаются в той же, неподвижной, системе координат). Однако отличие той и другой матрицы лишь в в знаке угла поворота, и одна может быть получена из другой заменой угла поворота на противоположный; та и другая взаимно обратны и могут быть получены друг из друга транспонированием.
В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:
Поворот выполняется путём умножения матрицы поворота на вектор-столбец, описывающий вращаемую точку:
Координаты (x',y') в результате поворота точки (x, y) имеют вид:
Конкретные знаки в формулах зависят от того, является ли система координат правосторонней или левосторонней, и выполняется ли вращение по или против часовой стрелки. Верхний знак указан для обычного соглашения: правосторонняя система координат и положительное направление вращения против часовой стрелки (тот же знак верен для левосторонней координатной системы при выборе положительного направления вращения по часовой стрелке; в оставшихся двух комбинациях - нижний знак).
Любое вращение в трехмерном пространстве может быть представлено как композиция поворотов вокруг трех ортогональных осей (например, вокруг осей декартовых координат). Этой композиции соответствует матрица, равная произведению соответствующих трех матриц поворота.
Матрицами вращения вокруг оси декартовой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:
Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в правой системе координат, и по часовой стрелке в левой системе координат, если смотреть против направления соответствующей оси.[1] Правая система координат связана с выбором правого базиса (см. правило буравчика).
Совершенно аналогично могут быть записаны матрицы поворота конечномерного пространства любой более высокой размерности.
Надо только иметь в виду, что для размерностей пространства, не равных трем, невозможно указать единственную прямую, ортогональную двум данным прямым, а поэтому нельзя говорить о вращении вокруг какой-то оси, можно же говорить о вращении в какой-то плоскости[2] Все точки при повороте в пространстве любой размерности, начиная с 2, всегда движутся параллельно некоторой (двумерной) плоскости.
Итак, совершенно аналогично трехмерному случаю (с приведенной оговоркой) можем написать матрицу поворота в любой координатной плоскости для любой размерности пространства.
Например:
- матрица поворота в 5-мерном пространстве в плоскости ,
- матрица поворота в 7-мерном пространстве в плоскости .
Пусть — матрица поворота вокруг оси с ортом на угол , — матрица поворота вокруг оси с ортом на тот же угол, причем
где — матрица поворота, изменяющая орт оси поворота . Тогда
где — транспонированная матрица .
Если — матрица поворота вокруг оси с ортом на угол , — матрица поворота вокруг оси с ортом на угол , то — матрица, описывающая поворот, являющийся результатом двух последовательно осуществленных поворотов ( и ), поскольку
При этом последовательность поворотов можно поменять, видоизменив поворот :
где матрица — матрица поворота на угол вокруг оси c ортом повернутым с помощью поворота :
поскольку , так как матрица поворота является ортогональной матрицей ( — единичная матрица). Заметим, что коммутативности поворотов в обычном смысле нет, то есть
Последовательные повороты около осей на угол прецессии (), угол нутации () и на угол собственного вращения () приводят к следующему выражению для матрицы поворота:
Ось — ось X, повернутая первым поворотом (на ), — ось Z, повернутая первым и вторым поворотом (на и ). Вследствие перестановочности поворотов приведенная матрица соответствует поворотам на углы , , вокруг осей Z, X, Z:
В случае, если повороты задаются в другой последовательности, матрица поворота находится перемножением матриц для вращения вокруг соответствующих декартовых осей координат, например:
В декартовых координатах матрица поворота имеет вид:
Если задан кватернион q = (w,x,y,z), то соответствующая матрица поворота имеет вид:
Если — матрица, задающая поворот вокруг оси на угол , то:
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Это заготовка статьи по механике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Матрица поворота.