Круговой многочлен, или многочлен деления круга — многочлен вида

где

представляет собой корень степени из единицы, а произведение берётся по всем натуральным числам , меньшим , и взаимно простым с .

Свойства

• Степень кругового многочлена , где — функция Эйлера.
• Круговой многочлен удовлетворяет соотношению

где произведение берется по всем положительным делителям числа , включая единицу и само . Это можно переписать как

• Для многочлена можно указать явное выражение через функцию Мёбиуса:

• В частности, если — простое, то

• Коэффициенты кругового многочлена являются целыми числами.
• Над полем рациональных чисел все многочлены неприводимы, но над конечными простыми полями эти многочлены могут быть приводимы.
  • Например: над полем вычетов по модулю 11 имеет место соотношение:

См. также

• Круговое поле

Литература

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.