Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена . Другими словами, это комплексные числа, -я степень которых равна 1.

Представление

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

Тогда по формуле Муавра, получим:

Здесь  — корни из единицы.

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

Из этих формул вытекает, что корней из единицы всегда ровно , и все они различны.

Свойства

Геометрические свойства

• Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица.
• Если  — корень из единицы, то сопряжённое к нему число  — тоже корень из единицы.
• Пусть M — произвольная точка единичной окружности. Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней из единицы равна 2n.

Алгебраические свойства

• Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.
• Корни из единицы образуют по умножению группу. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы.
• Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов . Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент , индекс которого взаимно прост с .
  • Следствия:
  • элемент всегда является первообразным;
  • если  — простое число, то степени любого корня, кроме , охватывают всю группу;
  • число первообразных корней равно , где — функция Эйлера.
• Если , то для суммы степеней любого первообразного корня из единицы имеет место формула:

Примеры

Кубические корни из единицы:

Корни 4-й степени из единицы:

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента:

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два:

Круговые поля

Круговое поле, или поле деления круга степени n (англ. Cyclotomic field) — это поле , порождённое присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня n-й степени из единицы . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: состоит из комплексных чисел вида , где — рациональные числа.

Теорема Кронекера-Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

См. также

• Первообразный корень

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.
• Комплексные корни n-й степени из единицы.
• Milne, James S. Algebraic Number Theory. Course Notes (1998). Архивировано из первоисточника 2 апреля 2012.