Тео́рия Мо́рса — общее название теорий, основывающихся на идеях Морса и описывающих связь алгебро-топологических свойств топологического пространства с критическими точками гладкой функции (функционалов) на нём.

Теория Морса является разделом вариационного исчисления в целом; однако последнее шире: например, оно включает в себя теорию категорий в смысле Люстерника — Шнирельмана.

Основные результаты

• Лемма Морса

• Если множество компактно, не пересекается с краем многообразия и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса , то диффеоморфно многообразию, полученному из приклеиванием ручки индекса k, см. хирургия.

• Каждой функции Морса на гладком многообразии (без края) отвечает гомотопически эквивалентное многообразию клеточное пространство, клетки которого находятся в биективном соответствии с критическими точками функции , причем размерность клетки равна индексу соответствующей критической точки. Важные следствия этого представления:
  • Неравенства Морса.
  • Инструмент для изучения топологии многообразий. Причем важны не только индексы, но и количество критических точек. Предположим, на замкнутом многообразии задана функция Морса , имеющая в точности критических точек (индексы которых неизвестны), — как это влияет на топологию многообразия?
    • Случай невозможен согласно неравенствам Морса.
    • Случай : Теорема Риба о сфере утверждает, что гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере .
    • Случай возможен только в некоторых малых размерностях, при этом гомеоморфно многообразию Илса — Кейпера.

Литература

• Милнор, Дж., Теория Морса 1965, 184 с.