Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Содержание 1 Некоторые характеристические свойства плоскости 2 Уравнения плоскости 3 Определение по точке и вектору нормали 4 Расстояние от точки до плоскости 5 Расстояние между параллельными плоскостями 6 Связанные понятия 7 m-плоскость в пространстве 7.1 Примеры m-плоскостей 8 Литература 9 См. также

Некоторые характеристические свойства плоскости

• Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;
• Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.
• Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.
• Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Аналогично отрезку и интервалу, плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.

Уравнения плоскости

Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).

Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816—1818).

Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

• Общее уравнение (полное) плоскости

где и  — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где  — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).

• Уравнение плоскости в отрезках:

где , ,  — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .

• Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :

в векторной форме:

• Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

• Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор,  — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

Определение по точке и вектору нормали

В трехмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.

Допустим, является радиусом-вектором точки , заданной на плоскости, и допустим, что n - это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от к , перпендикулярен n.

Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:

(Здесь точка означает скалярное произведение, а не умножение.)

Развернув выражение, мы получим:

что является знакомым нам уравнением плоскости.

Например: Дано: точка на плоскости и вектор нормали .

Уравнение плоскости записывается так:

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением

,если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно

• Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

Расстояние между параллельными плоскостями

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :

• Расстояние между плоскостями, заданными уравнениями и :

Связанные понятия

• Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

Если в векторной форме, то

• Плоскости параллельны, если

или (Векторное произведение)

• Плоскости перпендикулярны, если

или . (Скалярное произведение)

• Пучок плоскостей — уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плоскостей

где и  — любые числа, не равные одновременно нулю.

m-плоскость в пространстве

Пусть дано n-мерное аффинный-точененое пространство , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат . m-плоскостью называется множество точек , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению - матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, - вектор переменных, - радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
- векторное уравнение m-плоскости.
Вектора образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и .

(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть - нормальный вектор плоскости, - вектор переменных, - радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
- общее уравнение плоскости.
Имя матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: , или:
.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.

Примеры m-плоскостей

1. Примером 1-плоскости в трёхмерном пространстве(n=3) служит прямая. Её векторное уравнение имеет вид: .В случае n = 2 прямая является гиперплоскостью.
2. Гиперплоскостью в трёхмерном пространстве соответствует привычному понятию плоскости.

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.

См. также

• Сагиттальная плоскость
• Полуплоскость