Квадра́тный ко́рень из (корень 2-й степени) — это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.
Содержание |
Квадратный корень из числа — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной .[1][2]
Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.
Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от [3][4]. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.
При натуральных уравнение не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных (действительных) чисел.
Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку. [5]
Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .[6]
Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:
Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если
то (см. Формула Муавра)
где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.
Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной , которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.[7] Эта функция является частным случаем степенной функции с . Эта функция является гладкой при , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.
Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в начале координат.
Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц [8], функций [9], операторов[10] и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.
В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть — группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .
Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. [11]
Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).
Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.
Для квадратов чисел верны следующие равенства:
и так далее.
То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:
Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.
Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:
Два и шесть используются потому, что и
При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).
В частности, если , а , то [12]
Основная статья: Итерационная формула Герона
тогда
Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.
Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234.567 можно представить, как 03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.
Наглядное описание алгоритма:
| Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Квадратный корень.
