Дзета-функция Римана определяется с помощью ряда Дирихле:

где .

В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы.

Тождество Эйлера

В исходной области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

,

где произведение берётся по всем простым числам .

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

• Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:

  , где  — число Бернулли.

  • В частности, .
• Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное.^[1]
• При
  • , где  — функция Мёбиуса
  • , где  — число делителей числа
  • , где  — число простых делителей числа
• имеет в точке простой полюс с вычетом, равным 1.
• Дзета-функция при удовлетворяет уравнению:

  ,

где  — Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.

• Для функции

  ,

введенной Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид

.

Нули дзета-функции

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости , функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, при вещественных . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой .

Обобщения

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

• Дзета-функция Гурвица:

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Полилогарифм:

который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.

• Дзета-функция Лерха:

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Квантовый аналог (q-аналог).

История

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

Ссылки

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Примечания