Пусть — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей . Обозначим через гауссову кривизну и через геодезическую кривизну . Тогда
где — эйлерова характеристика .
В частности, если у нет границы, получаем
Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.
История
Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Гауссом[1]. Бонне[2] обобщил формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой. В современной формулировке формула впервые появляется в работах Бляшке[3].
Вариации и обобщения
Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома касательный вектор разворачивается на угол в сторону области (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:
Для вывода этой формулы область нужно аппроксимировать областью, которая имеет сглаженные углы. Затем радиус закругления на углах направляем к нулю.
↑C.F.Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99–146.
↑Bonnet, 1848 'Memoire sur la Theorie Generate des Surfaces', J. Ecole Poly technique 19 (1848) pp. 1—146
↑Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, 1921
С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, No 9, с. 116—121.