Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин впервые предложил Эмиль Артин в 1927 г.

Определение

Пусть — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: .
2. Транзитивность: если и , то .
3. Антисимметричность: если и , то .
4. Линейность: все элементы сравнимы между собой, то есть либо , либо .
5. Согласованность со сложением: если , то для любого z: .
6. Согласованность с умножением: если и , то .

Связанные определения

• Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: означает, что .

Отношение больше: означает, что и .

Отношение меньше: означает, что .

• Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
• Числа, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными.

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества , ноль и не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

, если

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены.

Некоторые свойства

• Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные числа, отрицательные числа, нуль. Если положителен, то отрицателен, и наоборот.
• В любом упорядоченном поле и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если и , то .

• Неравенства можно умножать на положительные элементы:

Если и , то .

Место в иерархии алгебраических структур

• Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
• Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю. Поэтому конечное поле не может быть упорядочено.
• Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
• Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле. Если в поле не существует элемента больше, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым.

Примеры

• Рациональные числа
• Вещественные числа
• Вещественные алгебраические числа
• Поле вещественных рациональных функций: , где — многочлены, . Упорядочим его следующим образом.
  • Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) упорядочены традиционным образом.
  • Пусть , Будем считать, что дробь , если .
  • Из определения вытекает, что многочлен больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово.
• Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.