В математической физике, теория потенциала — теория решения и изучения свойств дифференциальных уравнений в частных производных в областях с достаточно гладкой границей посредством введения специальных видов интегралов зависящих от определенных параметров, называемых потенциалами.
Содержание |
Теория потенциала, в первоначальном понимании — учение о свойствах сил, действующих по закону всемирного тяготения. В формулировке этого закона, данной И. Ньютоном, речь идет только о силах взаимного притяжения, действующих на две материальные частицы малых размеров, или материальные точки, прямо пропорциональные произведению масс этих частиц и обратно пропорциональные квадрату расстояния между частицами. Поэтому первой и важнейшей с точки зрения небесной механики и геодезии задачей было изучение сил притяжения материальной точки ограниченным гладким материальным телом-сфероидом и, в частности, эллипсоидом (ибо многие небесные тела имеют именно эту форму). После первых частных достижений И. Ньютона и других ученых основное значение здесь имели работы Ж. Лагранжа, А. Лежандра и П. Лапласа. Ж. Лагранж установил, что поле сил тяготения, как говорят теперь, — потенциальное, и ввел функцию, которую позже Дж. Грин назвал потенциальной, а К. Гаусс — просто потенциалом. Ныне достижения этого первоначального периода обычно входят в курсы классической небесной механики.
Ещё К. Гаусс и его современники обнаружили, что метод потенциалов применим не только для решения задач теории тяготения, но и вообще для решения широкого круга задач математической физики, в частности электростатики и магнетизма. В связи с этим стали рассматриваться потенциалы не только физически реальных в вопросах взаимного притяжения положительных масс, но и «масс» произвольного знака, или зарядов. В теории потенциала определились основные краевые задачи такие, как задача Дирихле и задача Неймана, электростатическая задача о статическом распределении зарядов на проводниках, или задача Робена, задача о выметании масс. Для решения указанных задач в случае областей с достаточно гладкой границей оказались эффективным средством специальные разновидности потенциалов, то есть специальные виды интегралов, зависящих от параметров, такие, как потенциал объемно распределенных масс, потенциалы простого и двойного слоя, логарифмические потенциалы, потенциалы Грива и другие. Основную роль в создании строгих методов решения основных краевых задач сыграли работы А. М. Ляпунова и В. А. Стеклова в конце XIX века. Изучение свойств потенциалов различных видов приобрело в теории потенциала и самостоятельное значение. Мощный стимул в направлении обобщения основных задач и законченности формулировок теория получила начиная с первой половины XX века на основе использования общих понятий меры в смысле Радона, ёмкости и обобщенных функций. Современная теория потенциала тесно связана в своем развитии с теорией аналитических функций, гармонических функций, субгармонических функций и теорией вероятностей. Наряду с дальнейшим углубленным изучением классических краевых задач и обратных задач для современного периода развития теории потенциала характерно применение методов и понятий современной топологии и функционального анализа, применение абстрактных аксиоматических методов.
На плоскости объёмным логарифмическим потенциалом (или потенциалом площади) называется интеграл вида
Если плотность непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:
В двумерном случае потенциалом простого слоя называется интеграл:
где — некоторая кривая.
Потенциалом двойного слоя на плоскости называется интеграл:
где — внешняя нормаль к кривой в точке . В случае незамкнутой кривой направление внешней нормали выбирается произвольно.
Пусть в ограниченной области задана функция , интеграл
называется объёмным потенциалом.
Функция представляет собой, определённый во всех точках потенциал единичного точечного заряда, сосредоточенного в точке . Если в области непрерывно распределён заряд с объёмной плотностью , то в силу принципа суперпозиции естественно предполагать, что потенциал, создаваемый данным распределением объёмного заряда, выражается вышеприведённым интегралом. Функция называется плотностью потенциала.
Если плотность непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:
Потенциалом простого слоя в трёхмерном случае называется интеграл
где — некоторая поверхность, — функция заданная на поверхности , она называется плотностью потенциала простого слоя.
Свойства:
Потенциалом двойного слоя в трёхмерном случае называется интеграл:
где — двусторонняя поверхность, — внешняя нормаль к поверхности в точке (в том случае, когда поверхность незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно), — функция, заданная на поверхности , она называется плотностью потенциала двойного слоя.
Выражение для потенциала двойного слоя также может быть переписано в виде:
где — угол между внутренней нормалью к поверхностью в точке и вектором .
Свойства:
Теория потенциала.