Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

где

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

 — масса тела,

 — расстояние между указанными осями.

Вывод

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор можно расписать как сумму двух векторов:

,

где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Пример

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью ) равен

Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

где  — расстояние между искомой осью и осью . В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле :

Пересчёт тензора инерции

Теорема Гюйнеса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор относительно произвольной точки из тензора относительно центра масс. Пусть  — смещение от центра масс, тогда

где

 — вектор смещения от центра масс, а  — символ Кронекера.

Как видно, для диагональных элементов тензора (при ) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.

См. также

• Момент инерции
• Список моментов инерции