В теории чисел теорема Грина—Тао, доказанная Беном Д. Грином и Теренсом Тао в 2004 году^[1], утверждает, что последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

Дальнейшие работы

В 2006 Тао и Тамара Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий^[2]. Более точно, для любого заданного полинома с целыми коэффициентами P₁,…, P_k одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P₁(m), …, x + P_k(m) простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k').

Численные результаты

Полученные результаты доказывают лишь существование и не указывают пути нахождения прогрессии. 18 января 2007 Ярослав Вроблевски нашёл первый случай арифметической прогрессии из 24 простых чисел^[3]: 468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n, от n = 0 до 23. Здесь константа 223092870 — это произведение простых чисел, меньших 23 (см. примориал).

17 мая 2008 Вроблевски и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 223,092,870 · n, от n = 0 до 24.

12 апреля 2010 Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевски и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел последовательность A204189 в OEIS:

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 · n, for n = 0 to 25.

См. также

• Гипотеза Эрдёша для арифметических прогрессий
• Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии
• Арифметическая комбинаторика

Примечания