Логика высказываний, или пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»[1]), или исчисление высказываний[2] — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, внутренняя структура простых высказываний не рассматривается, а учитывается лишь, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные[3].
Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений[2].
Язык логики высказываний (пропозициональный язык[4]) — искусственный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний[1].
Исходные символы, или алфавит языка логики высказываний, разделены на следующие три категории:[1][5]
Других знаков в алфавите языка логики высказываний нет.
Пропозициональная переменная — переменная, которая в пропозициональных формулах служит для замены собой элементарных логических высказываний[3].
Роль структурных образований, аналогичных элементарным и сложным высказываниям, играют в этом языке формулы. Пропозициональная формула — конечная последовательность знаков алфавита, построенная по изложенным ниже правилам и образующая законченное выражение языка логики высказываний[1]. Заглавные латинские буквы , и др., которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, то есть языку, который используется для описания самого языка логики высказываний. Содержащие метабуквы выражения , и др. — не пропозициональные формулы, а схемы формул. Например, выражение есть схема формул , и др[1].
Индуктивное определение формулы логики высказываний:[4][1]
Других формул в языке логики высказываний нет. Относительно любой последовательности знаков алфавита языка логики высказываний можно решить, является она формулой или нет. Если эта последовательность может быть построена в соответствии с пп. 1—3 определения формулы, то она формула, если нет, то не формула[1].
Язык логики высказываний можно рассматривать как множество пропозициональных формул[4].
Для формул логики высказываний можно определить понятие интерпретации как приписывание каждой пропозициональной переменной истинностного значения[6] («истина» или «ложь», хотя исчисление высказываний никак не ограничивает множество возможных значений при интерпретации: например, можно задать интерпретацию как отображение в множество , где , — такой подход может использоваться, к примеру, при доказательстве независимости схем аксиом исчисления высказываний).
Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, математики приняли соглашения о скобках, по которым некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются так:
Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.
Например: запись означает формулу , а её длина равна 12.
Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если даны истинностные значения входящих в неё переменных. Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок[7].
Пусть — множество всех истинностных значений , а — множество пропозициональных переменных. Тогда интерпретацию (или модель) языка логики высказываний можно представить в виде отображения
которое каждой пропозициональной переменной сопоставляет истинностное значение [7].
Оценка отрицания задаётся таблицей:
|
|
|
|
Значения двухместных логических связок (импликация), (дизъюнкция) и (конъюнкция) определяются так:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных (то есть, при любой интерпретации)[8]. Вот несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:
1) ;
2) ;
;
Законы поглощения:
1) ;
2) ;
1) ;
2) .
Одним из возможных вариантов (Гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
вместе с единственным правилом:
Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.
Пропозициональная логика.