Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя.

Эквивалентное определение: число, представимое в виде , где и  — положительные целые числа.

Полнократные числа систематически изучены Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, наименование дано Соломоном Голомбом.

Список полнократных чисел между 1 и 1000^[1]:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Эквивалентность двух определений

Если , то любое простое в разложении входит дважды, а входящее в  — не менее трёх раз; так что любое простое в разложении входит не менее, чем в квадрате.

С другой стороны, пусть  — полнократное число с разложением

,

где каждое . Определим равным трём, если нечётно, и нулю в противном случае, и определим . Тогда все значения являются неотрицательными чётными целыми, и все значения либо равны нулю, либо трём, так что:

даёт искомое представление как произведение квадрата и куба.

Иными словами, для данного разложения числа можно взять в качестве произведение простых множителей, входящих в разложение с нечётными степенями (если таких нет, то 1). Поскольку  — полнократное, каждый простой множитель, входящий в разложение с нечётной степенью, имеет степень не менее 3, так что является целым. Теперь каждый простой множитель имеет чётную степень, так что  — полный квадрат, обозначим его как ; и получается . Например:

,

,

,

.

Математические свойства

Сумма обратных величин полнократных чисел сходится:

,

где  — обходит все простые числа,  — дзета-функция Римана, и  — постоянная Апери (Голомб, 1970).

Пусть означает количество полнократных чисел в интервале . Тогда пропорционально квадратному корню из . Точнее:

(Голомб, 1970).

Два наименьших последовательных полнократных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля имеет бесконечное число решений, то имеется и бесконечное число пар последовательных полнократных чисел (Голомб, 1970); Более общо, можно найти последовательные полнократные числа, найдя решение уравнения, похожего на уравнение Пелля, для любого куба . Однако, одно из полнократных чисел в паре, полученной таким образом, должно быть квадратом. Согласно Гаю, Эрдёш задавал вопрос, бесконечно ли число пар полнократных чисел вида (23³, 2³3²13²) в которых ни одно из чисел в паре не является квадратом. Ярослав Вроблевский показал, что, наоборот, имеется бесконечно много таких пар, показав, что имеет бесконечно много решений.

Согласно гипотезе Эрдёша — Моллина — Уолша, не существует трёх последовательных полнократных чисел.

Суммы и разности полнократных чисел

Любое нечётное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов:

.

Таким же образом, любое число, кратное четырём представимо в виде разности двух чисел, отличающихся на два: . Однако число, делящееся на два, но не на четыре, нельзя представить в виде разности квадратов, то есть возникает вопрос: какие чётные числа, не делящиеся на 4, могут быть представлены в виде разности двух полнократных чисел.

Голомб дал несколько таких представлений:

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3²(3³ − 5²).

Сначала была высказана гипотеза, что число 6 нельзя представить в таком виде, и Голомб предположил, что имеется бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде разности двух полнократных чисел. Однако Наркивич обнаружил, что существует бесконечно много способов представления числа 6, например

6 = 5⁴7³ − 463²,

и Макдэниел (1982) показал, что любое число имеет бесконечное число таких представлений .

Эрдёш высказал гипотезу, что любое достаточно большое целое число является суммой максимум трёх полнократных чисел. Гипотеза была доказана Роджером Хит-Брауном (1987).

Обобщение

-полнократные числа — числа, в разложении которых простые числа входят со степенью не менее .

, , являются -полнократными в арифметической прогрессии.

Более того, если являются -полнократными в арифметической прогрессии с разностью , то:

являются -полнократными числами в арифметической прогрессии.

Для - полнократных чисел имеет место:

.

Это равенство даёт бесконечно много наборов длины - полнократных чисел, суммы которых тоже -полнократны. Нитадж (Nitaj, 1995) показал, что имеется бесконечно много решений уравнения среди взаимно простых 3-полнократных чисел. Кон (Cohn) сконструировал бесконечное семейство решений уравнения среди взаимно простых 3-полнократных чисел: тройка

,

,

является решением уравнения . Возможно сконструировать другое решение, положив и убирая общий делитель.

Примечания

Ссылки

• Cohn, J. H. E. (1998). «A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers». Math. Comp. 67 (221): 439–440. 10.1090/S0025-5718-98-00881-3.
• Pál Erdős, György Szekeres (1934). «Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem». Acta Litt. Sci. Szeged 7: 95–102.

• Solomon W. Golomb (1970). «Powerful numbers». 10.2307/2317020.