Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Содержание |
Аналогично отрезку и интервалу, плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.
Впервые встречается у А. К. Клеро (1731).
Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые встречается у Г.Ламе (1816—1818).
Нормальное уравнение ввёл Л. О. Гессе (1861).
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:
где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :
Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).
где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .
в векторной форме:
(смешанное произведение векторов), иначе
в векторной форме:
где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки и противоположны).
В трехмерном пространстве одним из важнейших способов определения плоскости является указание точки на плоскости и вектора нормали к ней.
Допустим, является радиусом-вектором точки , заданной на плоскости, и допустим, что n - это ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль). Идея состоит в том, что точка с радиусом-вектором r находится на плоскости тогда и только тогда, когда вектор, проведённый от к , перпендикулярен n.
Вернёмся к тому, что два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Отсюда следует, что нужная нам плоскость может быть выражена как множество всех точек r таких, что:
Развернув выражение, мы получим:
что является знакомым нам уравнением плоскости.
Например: Дано: точка на плоскости и вектор нормали .
Уравнение плоскости записывается так:
Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Если в векторной форме, то
где и — любые числа, не равные одновременно нулю.
Пусть дано n-мерное аффинный-точененое пространство , над полем действительных чисел. В нём выбрана прямоугольная система координат . m-плоскостью называется множество точек , радиус векторы которых удовлетворяют следующему соотношению - матрица, столбцы которой образует направляющие подпространство плоскости, - вектор переменных, - радиус-вектор одной из точек плоскости.
Указанное соотношение можно из матрично-векторного вида перевести в векторный:
- векторное уравнение m-плоскости.
Вектора образуют направляющее подпространство. Две m-плоскости называются параллельными, если их направляющие пространства совпадают и .
(n-1)-плоскость в n-мерном пространстве называется гиперплоскостью или просто плоскостью. Для гиперплоскости существует общее уравнение плоскости. Пусть - нормальный вектор плоскости, - вектор переменных, - радиус вектор точки, принадлежащей плоскости, тогда:
- общее уравнение плоскости.
Имя матрицу направляющих векторов, уравнение можно записать так: , или:
.
Углом между плоскостями называется наименьший угол между их нормальными векторами.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
Плоскость (геометрия).