Пифагорейский строй, Пифагоров строй — сформулированный в соответствии с математическими расчётами интервальных величин, свойственными пифагорейской школе гармоники, способ построения отношений между звуками определённой высоты. Со времён поздней античности (Никомах, Ямвлих, Боэций и др.) приписывался Пифагору. Абстрактно-математическое представление о пифагоровом строе (как квинтовой цепи) сложилось в эпоху западноевропейского барокко.
Обычно представляется в виде последовательности квинт (или кварт), например, так (цепь из 6 квинт от звука фа):
F — C — G — D — A — E — H
или в виде диатонической гаммы:
| C | D | E | F | G | A | H | C | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9/8 | 81/64 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 243/128 | 2 | |||||||
| Целый тон | Целый тон | Лимма | Целый тон | Целый тон | Целый тон | Лимма | ||||||||
| 8 : 9 | 8 : 9 | 243 : 256 | 8 : 9 | 8 : 9 | 8 : 9 | 243 : 256 | ||||||||
| 203,91 ц | 203,91 ц | 90,22 ц | 203,91 ц | 203,91 ц | 203,91 ц | 90,22 ц |
В западной музыке пифагорейскому строю приписывается роль основы не только для античной монодии, но также и для полифонической музыки Средневековья. Музыкальные теоретики по сей день продолжают описывать интервалы опираясь на пифагорейский строй, хотя певческая, а затем инструментальная многоголосная тональная музыка не позже XVI века начала осваивать чистый строй. В сравнении с последним, пифагорейский является октавно-квинтовым строем, порождаемым натуральными интервалами чистой октавы (1:2) и чистой квинты (2:3)[1]. Для всех занятых в интервальных соотношениях пифагорейского строя чисел истинно, что в их канонических представлениях не существует простых чисел величиной более 3-х. По этой причине пифагорейский строй ещё называют настройка предела 3 (англ. 3-limit tuning).
Содержание |
В следующей таблице показаны интервалы пифагорова строя, не превосходящие октаву, и получаемые не более чем 18-ю квинтовыми шагами. Диатонические интервалы (то есть возникающие в пифагоровой 7-ступенной диатонике и получаемые не более чем 6 квинтовыми шагами) выделены жирным шрифтом. Обычным шрифтом отмечены хроматические интервалы (возникающие, наряду с диатоническими интервалами, в 12-ступенном пифагоровом октавном звукоряде, и получаемые 7—11-ю квинтовыми шагами). Остальные, «дихроматические» (или «энармонические»), интервалы, получаемые 12—18 квинтовыми шагами, выделены курсивом. Эти последние (за исключением пифагоровой коммы, соответствующей увеличенной септиме без октавы, и уменьшённой ноны) соответствуют дважды увеличенным и уменьшенным интервалам диатоники.
Сокращения: «м.» — малая; «б.» — большая; «ум.» — уменьшённая; «ув.» — увеличенная.
В колонках Q и O таблицы показаны соответственно количества квинт и октав, откладыванием которых получается данный интервал (при этом положительным числам соответствует откладывание вверх, а отрицательным — вниз). Например, уменьшённой септиме соответствуют значения Q = −9 и O = 6, то есть уменьшенная септима получается откладыванием от данного звука (высоты) 9-ти квинт вниз и 6 октав вверх; таким образом, она имеет отношение частот звуков, равное
При этом число О (для интервалов, меньших октавы) однозначно определяется числом Q, находясь от него в функциональной зависимости, определяемой формулой:
где — целая часть числа [2].
Далее, каждый из интервалов, указанных в таблице, однозначно представляется как сложенный из T целых тонов (указанных в колонке T), L лимм (колонка L) и K пифагоровых комм (колонка K), при ограничениях
Как видно из таблицы, для диатонических интервалов имеет место одно из трёх пар равенств: и , либо и , либо и (то есть диатонический интервал всегда равен либо целому числу тонов, либо целому числу тонов с прибавленной лиммой, либо меньше целого числа тонов на пифагорову комму). Для хроматических интервалов, сверх того, могут иметь место соотношения и , либо и , а «дихроматических» (выделенных курсивом) — также и , либо и .
| Название | Q | O | T | L | K | Отношение | Величина в центах |
Ступень от c |
Дополнительные примеры |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| унисон, прима | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1:1 | 0,00 | c | |
| пифагорова комма (ув. септима без октавы)[3] |
12 | -7 | 0 | 0 | 1 | 531441:524288 | 23,46 | His | des—cis, fes—e, a—gisis |
| дважды ум. терция | -17 | 10 | 0 | 1 | -1 | 134217728:129140163 | 66,76 | eseses[4] | cis—eses, eis—ges |
| лимма, м. секунда, меньший (диатонический) полутон |
-5 | 3 | 0 | 1 | 0 | 256:243 | 90,22 | des | e—f, cis—d, des—eses |
| апотома, ув. прима, больший (хроматический) полутон |
7 | -4 | 0 | 1 | 1 | 2187:2048 | 113,69 | cis | cis—cisis, des—d, eses—es |
| ум. терция | -10 | 6 | 1 | 0 | -1 | 65536:59049 | 180,45 | eses | cis—es, e—ges |
| целый тон, б. секунда | 2 | -1 | 1 | 0 | 0 | 9:8 | 203,91 | d | d—e, e—fis, B—c, des—es, cis—dis |
| дважды ув. прима | 14 | -8 | 1 | 0 | 1 | 4782969:4194304 | 227,37 | cisis | ces—cis, deses—d |
| дважды ум. кварта | -15 | 9 | 1 | 1 | -1 | 16777216:14348907 | 270,67 | feses | cis—fes, fis-b, cisis—f |
| полудитон, м. терция | -3 | 2 | 1 | 1 | 0 | 32:27 | 294,13 | es | d—f, es—ges |
| ув. секунда | 9 | -5 | 1 | 1 | 1 | 19683:16384 | 317,60 | dis | des—e, es—fis |
| ум. кварта | -8 | 5 | 2 | 0 | -1 | 8192:6561 | 384,36 | fes | cis—f, fis—b, dis—ges |
| дитон, б. терция | 4 | -2 | 2 | 0 | 0 | 81:64 | 407,82 | e | d—fis, eis-gisis |
| дважды ув. секунда | 16 | -9 | 2 | 0 | 1 | 43046721:33554432 | 431,28 | disis | ces—dis, es—fisis |
| дважды ум. квинта | -13 | 8 | 2 | 1 | -1 | 2097152:1594323 | 474,58 | geses | cis—ges, disis—a |
| кварта | -1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 4:3 | 498,04 | f | d—g, ces—fes |
| ув. терция | 11 | -6 | 2 | 1 | 1 | 177147:131072 | 521,51 | eis | des—fis, deses—f |
| дважды ум. секста | -18 | 11 | 3 | 0 | -2 | 536870912:387420489 | 564,81 | aseses[4] | cisis—as, cis—ases |
| ум. квинта (комматический тритон[5]) |
-6 | 4 | 3 | 0 | -1 | 1024:729 | 588,27 | ges | cis—g, H—f, e—b |
| тритон, ув. кварта | 6 | -3 | 3 | 0 | 0 | 729:512 | 611,73 | fis | f—b, des—g |
| дважды ув. терция | 18 | -10 | 3 | 0 | 1 | 387420489:268435456 | 635,19 | eisis | des—fisis, eses—gis |
| ум. секста («волчья квинта» пифагорова строя) |
-11 | 7 | 3 | 1 | -1 | 262144:177147 | 678,49 | ases | cis—as, Gis—es |
| квинта | 1 | 0 | 3 | 1 | 0 | 3:2 | 701,96 | g | d—a, dis—ais |
| дважды ув. кварта | 13 | -7 | 3 | 1 | 1 | 1594323:1048576 | 725,42 | fisis | des—gis, deses—a |
| дважды ум. септима | -16 | 10 | 4 | 0 | -2 | 67108864:43046721 | 768,72 | heseses[4] | cis—heses, cisis—b |
| м. секста | -4 | 3 | 4 | 0 | -1 | 128:81 | 792,18 | as | d—b, dis-h |
| ув. квинта (тетратон) | 8 | -4 | 4 | 0 | 0 | 6561:4096 | 815,64 | gis | des—a, eses—b |
| ум. септима | -9 | 6 | 4 | 1 | -1 | 32768:19683 | 882,40 | heses | cis—b, Gis—f |
| б. секста | 3 | -1 | 4 | 1 | 0 | 27:16 | 905,87 | a | d—h, Es—c |
| дважды ув. квинта | 15 | -8 | 4 | 1 | 1 | 14348907:8388608 | 929,33 | gisis | des—ais, deses—a |
| дважды ум. октава | -14 | 9 | 5 | 0 | -2 | 8388608:4782969 | 972,63 | ceses1 | Dis—des, Disis—d |
| м. септима | -2 | 2 | 5 | 0 | -1 | 16:9 | 996,09 | b | G—f, Des—ces |
| ув. секста (пентатон) | 10 | -5 | 5 | 0 | 0 | 59049:32768 | 1019,55 | ais | des—h, deses—b |
| ум. октава | -7 | 5 | 5 | 1 | -1 | 4096:2187 | 1086,31 | ces1 | Cis—c, Des—deses |
| б. септима | 5 | -2 | 5 | 1 | 0 | 243:128 | 1109,78 | h | cis—his |
| дважды ув. секста | 17 | -9 | 5 | 1 | 1 | 129140163:67108864 | 1133,24 | aisis | ces—ais, Eses—cis |
| ум. нона | -12 | 8 | 6 | 0 | -2 | 1048576:531441 | 1176,54 | deses1 | Dis—es, Eis—f |
| октава | 0 | 1 | 6 | 0 | -1 | 2:1 | 1200,00 | c1 |
Как настроить пифагорейский строй, пифагорейский строй для чайников, музыка сфер пифагорейский строй теорема пифагора, пифагорейский строй частоты.
Клопшток, Фридрих Готлиб, Sony VAIO P series, Калиникос Креанга.