Отноше́ние в логике первого порядка — двух- и более аргументный предикат (многоместный предикат), двух- и более предикатное свойство. Знак отношения: R.[уточнить]
В терминах отношений вводятся многие важнейшие понятия логики и математики.
Суждение (высказывание), обозначающее отношение, называется относительным суждением (относительным высказыванием). В содержательных формулировках естественных языков отношение выражается обычно сказуемыми предложений, имеющих более одного подлежащего (или подлежащее и одно или несколько дополнений). Эти подлежащие и дополнения (в зависимости от их числа) в логике называются членами, субъектами или элементами данного отношения.
Также в зависимости от числа элементов в логике говорят о бинарных (двуместных, двучленных), тернарных (трёхместных, трёхчленных), в общем случае — о n-арных (n-местных, n-членных) отношениях.
Содержание |
Содержательные представления естественных языков реализуются в точных терминах теории множеств (алгебры[уточнить]) и математической логики. Точное выражение (уточнение) теории множеств отражает экстенсиональный[уточнить] (объёмный) аспект понятия отношения, уточнение математической логики — интенсиональный[уточнить] (смысловой, содержательный) аспект.
Термин «алгебра отношений» используется и для обозначения соответствующего раздела алгебры, и как синоним термина «логика отношений».
На языке теории множеств и алгебры n-местным (n-арным, в частности, бинарным) отношением называется множество (класс) упорядоченных систем из n элементов (упорядоченных n-ок, соответственно — упорядоченных пар) членов некоторого множества. Это множество называется полем данного отношения.
Если, например, х находится в отношении R к у (символически: R(xy) или xRy), то на языке теории множеств это формулируется как принадлежность упорядоченной пары (х, у) полю отношения R.
Для понимаемых таким образом отношений определяются понятия области определения данного отношения и области его значений. Множество первых элементов упорядоченных пар, входящих в отношение R, составляет его область определения (область отправления). Множество их вторых элементов составляет область значений (область прибытия). Аналогичные понятия вводятся и для многоместных отношений. Поскольку отношения являются частными случаями множеств, для них также аналогично тому, как это делается в теории множеств, вводятся операции объединения (суммы[уточнить]), пересечения (произведения[уточнить]) и дополнения отношений.
В формализованных языках математической логики аналогом понятия отношения служит понятие (многоместного) предиката.
С помощью аппарата алгебры отношений вводятся многие важнейшие понятия логики и математики, например, понятия функции и операции.
Раздел логики, изучающий высказывания об отношениях между объектами разной природы[уточнить], называется логикой отношений.
Хотя в логических сочинениях Аристотеля можно найти высказывания об отношениях, логика отношений как теория не состоялась в античной логике. Несколько бо́льшую разработку эти идеи получили в средневековой логике.
По-настоящему логика отношений была создана только в Европе XIX века. Наиболее значительный вклад в её разработку внесли А. Чёрч, Б. Рассел. Из русских логиков можно назвать С. И. Поварнина.
Независимо от европейской традиции логика отношений была создана в Индии школой ньяя.
Поскольку в математической логике, начиная с XIX века, отношения выражаются посредством многоместных предикатов, современная модификация логики отношений в её составе разрабатывается как часть логики предикатов.
Многоместные и одноместные предикаты записываются в математической логике в виде пропозициональных функций. Число переменных (аргументов) в функции характеризует число мест, на которые могут подставляться имена предметов. Отношения бывают двухместными, трёхместными и т. д.; общий случай называется n-местным отношением.
| Обозначение функции | Название пропозициональной функции | Пример предиката и соответствующей ему пропозициональной функции | Действительность, которой соответствует пропозициональная функция | Пример реальности |
|---|---|---|---|---|
| Р(х) или Px | Пропозициональная функция с одной переменной | «Чётное число (х)» или «x — чётное число» | Свойство | «Быть чётным числом» |
| R(x, y) или xRy | Пропозициональная функция с двумя переменными | «х больше у», «Ока короче Волги», «рельсы параллельны между собой» | Двухместноое отношение | «Больше», «короче», «быть параллельным». |
| R(x, у, z) | Пропозициональная функция с тремя переменными | «х находится между у и z», «x есть сумма y и z» | Трёхместное отношение | «Находиться между», «быть суммой» |
| R(x, у, z, u) | Пропозициональная функция с четырьмя переменными | «х относится к у, точно также, как z к u» («x, y, z, u являются членами пропорции») | Четырёхместное отношение | «Быть членами пропорции» |
|
|
||||
Отношение отличается от свойства тем, что приписывание свойства одному-единственному индивиду приводит к образованию либо истинного, либо ложного суждения, а отношение есть такая характеристика, которая для образования либо истинного, либо ложного суждения требует по меньшей мере приписывания ее двум предметам.
| Характеристика | Пример функции | Пример истинного суждения | Пример ложного суждения | Пример бессмысленного выражения |
|---|---|---|---|---|
| Свойство | «х — чётное число» | «4 — чётное число» (подстановка индивида 4 вместо переменной х) | «5 — чётное число» (подстановка числа 5 вместо х) | |
| Двухместное отношение | «х больше у» | «5 больше 3» (подстановка индивидов 5 и 3 вместо х и у) | «1 больше 2» (подстановка индивидов 1 и 2 вместо х и у) | «3 больше» (отнношение приписывается только одному индивиду 3) |
Бессмысленное выражение в последней главе таблицы — выражение, которое не образует ни истинного, ни ложного суждения, и, таким образом лишено смысла.
Отношение также определяется как многоместное свойство, свойство — как одноместное отношение, но некоторые логические теории отвергают возможность такого отождествления.
Опираясь на различные свойства двухместных отношений, можно из одних высказываний об отношениях выводить другие высказывания. В естественном языке трудность подобных выводов состоит в том, чтобы установить, обладает ли рассматриваемое отношение необходимым для вывода свойством. Например, кажется, что отношение «быть братом» симметрично, поэтому из высказывания «а — брат b» можно сделать вывод о том, что «b — брат а». На самом деле, тут в равной степени возможен вывод «b — сестра a».
| Это заготовка статьи по логике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Отношение (логика).