Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:
Пусть E — конечное расширение K степени n=[E:K], α — какой-нибудь элемент из E. Он определяет линейное преобразование на E:x→αx. Этому преобразованию в некотором базисе e1,e2...en соответствует матрица A:
(αe1,αe2...αen)=(e1,e2...en)*A. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как для другого базиса данному отображению будет соответствовать подобная матрица A'=CAC-1 с тем же определителем det(A)=det(A'), то норма не зависит от выбранного базиса. Она обозначается NKE(α)
Содержание |
Пусть σ1,σ2...σm — все изоморфизмы E в алгебраическое замыкание поля K, являющиеся изоморфизмами над K то-есть оставляющие неподвижными все элементы K. Если E сепарабельно то m равно степени [E:К]=n . Тогда для нормы существует следующее выражение:
NKE(a)=σ1(a)σ2(a)...σn(a)
Если E несепарабельно то m≠n — степени [E:K], в этом случае n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.
Тогда NKE(a)=(σ1(a)σ2(a)...σm(a))n:m
Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда норма элемента a+bi будет равна a²+b²
Норма (теория полей).