Мультипо́ли (от лат. multum — много и греч. πόλος — полюс) — определённые конфигурации точечных источников (зарядов). Простейшими примерами мультиполя служат точечный заряд — мультиполь нулевого порядка; два противоположных по знаку заряда, равных по абсолютной величине — диполь, или мультиполь 1-го порядка; 4 одинаковых по абсолютной величине заряда, размещённых в вершинах параллелограмма, так что каждая его сторона соединяет заряды противоположного знака (или два одинаковых, но противоположно направленных диполя) — квадруполь, или мультиполь 2-го порядка. Название мультиполь включает обозначение числа зарядов (на греческом языке), образующих мультиполь, например, октуполь (окту — 8) означает, что в состав мультиполя входит 8 зарядов.
Выделение таких конфигураций связано с разложением поля[1] от сложных, ограниченных в пространстве систем источников поля (включая и случай непрерывного распределения источников) по мультиполям - с так называемым 'мультипольным разложением'.
Под полем может иметься в виду электростатическое или магнитостатическое поле, а также аналогичные им поля (например, ньютоновское гравитационное поле)[2].
Такое разложение часто может применяться для приближенного описания поля от сложной системы источников на большом (много большем, чем размер самой этой системы) расстоянии от нее; в этом случае важно то, что поле мультиполя каждого следующего порядка убывает с расстоянием гораздо быстрее предыдущих, поэтому часто можно ограничиться несколькими (в зависимости от расстояния и требуемой точности) членами (низших порядков) мультипольного разложения. В другом случае по разным причинами мультипольное разложение оказывается удобным даже при суммировании всех порядков (тогда оно представляет собой бесконечный ряд); в этом случае оно дает точное выражение поля не только на больших, но в принципе на любых расстояниях от системы источников (за исключением внутренних ее областей.
Кроме статических (или приближенно статических) полей часто в связи с мультипольными моментами говорят о мультипольном излучении - излучении, рассматриваемом как обусловленное изменением во времени мультипольных моментов системы-излучателя. Этот случай отличается тем, что в нем поля разных порядков убывают с расстоянием одинаково быстро, различаясь зависимостью от угла.
Электростатический потенциал системы зарядов в точке
где — заряды, — их координаты. Раскладывая этот потенциал в ряд Тейлора, получим
называемое мультипольным разложением, где введено обозначение
— -польные потенциалы, называют порядком члена мультипольного разложения. Член 0-го порядка имеет вид
что совпадает с потенциалом точечного заряда (потенциалом монополя). Член 1-го порядка равен
где — единичный вектор, направленный вдоль . Если ввести дипольный момент системы зарядов как , то система совпадёт с потенциалом точечного диполя. Таким образом, потенциал в 1-м порядке разложения по мультиполям имеет вид
Если , то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Следующий член разложения имеет вид
где — квадрупольный момент системы зарядов. Введём матрицу квадрупольного момента. Тогда потенциал в 2-м порядке разложения по мультиполям примет вид
Матрица является бесследовой, то есть . Кроме того, она является симметричной, то есть .
Напряжённость электростатического поля системы зарядов равна градиенту электростатического потенциала, взятому с обратным знаком
Подставив в эту формулу напряжённость мультипольное разложение потенциала, получим мультипольное разложение напряжённости электростатического поля
где
— электрическое поле -полья.
В частности поле точечного заряда (монополя) имеет вид:
что соответствует закону Кулона.
Поле точечного диполя:
Векторный потенциал зарядов, движущихся с постоянной скоростью имеет вид:
Он аналогичным образом раскладывается в мультипольное разложение:
Ряд начинается с , так как магнитных зарядов не существует (магнитные заряды в физике фундаментальных взаимодействий не обнаружены, хотя они и могут быть использованы, как модель для описания явлений в физике твёрдого тела). Этот член соответствует магнитному диполю (точечному круговому контуру с током):
где — магнитный момент системы токов (движущихся зарядов):
Мультипольное разложение.