Косинусов теорема

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора.

Для плоского треугольника со сторонами и углом , противолежащим стороне , справедливо соотношение:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними^[1]

Классическое доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

или

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c,AC=b,CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:

Так как
(основное тригонометрическое тождество), то

Теорема доказана.
Стоит отметить, что для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² - известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Следствие из теоремы косинусов

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

В частности,

Если , угол α — острый
Если , угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов переходит в теорему Пифагора)
Если , угол α — тупой

История

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени ал-Баттани).

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения

Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трехгранного угла.
Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (смотрите также Теорема Птолемея):

Для евклидовых нормированных пространств

Пусть в евклидовом пространстве задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.

Четырёхугольник

Возводя в квадрат тождество можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

, где — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

Формула справедлива и для тетраэдра, под подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами и зная все ребра тетраэдра:

Где и , и пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Симплекс

S_i S_j \cos\angle A = \frac{(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1} ((n-1)!)^2} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2n}^2 \\ 1 & d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & d_{n3}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится или .

A — угол между гранями и , -грань, находящаяся против вершины i ,- расстояние между вершинами i и j.

См. также

Литература

Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84-85. — ISBN 5-94057-170-0.

Примечания

↑ Геометрия 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 15-е изд. - М.: Просвещение, 2005. - с. 257. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-014398-6

Sud-mal.ru

МОУ СОШ

Новости