Уна́рная (едини́чная, ра́зная) систе́ма счисле́ния — положительная суммарная целочисленная система счисления с основанием, равным 1.

В качестве единственной «цифры» используется «1», чёрточка (|), камешек, костяшка счёт, узелок, зарубка и др.^[1]

Попытки записи чисел с целой и дробной частью только одной цифрой пока безуспешны.

Единичные непозиционные системы счисления

Единичные системы счисления с весовыми функциями (коэффициентами) f=b, независящими от положения цифр, являются непозиционными (непоместными). Числа в них могут быть записаны в виде:

,

где:

n — число цифр (единиц),

k — число, порядковый номер цифры (единицы) в числе x_1,b,

a — число, определяющее множество из которого берутся a_k,

a_k — числа из одноэлементного множества a={1} (единицы),

b — число, основание весовой функции,

• при b=1 веса всех цифр одинаковые и равны «1»,
• при b≠1 веса всех цифр одинаковые и равны b.
  

Поскольку весовой коэффициент b может быть любым, число единичных непозиционных систем счисления бесконечно. Наибольшее распространение получила единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным единице (b=1). В народе иногда применяется единичная непозиционная система счисления с весовым коэффициентом, равным двум (b=2) — при счёте па́рами.

Из комбинаторики известно, что число записываемых кодов не зависит от основания весового коэффициента — b, который определяет диапазон представляемых числами x_1,b величин, и равно числу размещений с повторениями:

,

где:

a=1 — одноэлементное множество a={1} из которого берутся цифры a_k, :n — число элементов (цифр) в числе x_1,b.

Из этого следует, что вышеприведённая запись для фиксированного числа разрядов — n определяет одно число. Сумма таких записей с числом разрядов n от 1 до n определяет n единичных чисел.

Единичная непозиционная система счисления с единичным весовым коэффициентом

Целые числа записываются в виде:

,

где:

a_k — единицы.

Особенностью такой системы является то, что если приписать к числу одну «цифру» (1 — единицу), то число увеличивается лишь на эту единицу.
(Для сравнения: если в обычной десятичной системе счисления к натуральному числу приписать справа 1, число увеличивается сразу в 10 раз — и плюс 1).

Поэтому такая система записи чисел обычно применяется там, где идёт последовательное увеличение подсчитываемой величины, например: при счёте числа дней, количества одинаковых событий и т. п.

Вероятно, подобная система является древнейшей системой счисления в истории человечества, для примера можно привести Московский математический папирус, датируемый приблизительно 1850 до н. э.

Дробные числа записываются в виде дроби из двух целых чисел:

,

где:

n — число цифр числителя (a1) дробного числа x₁,

m — число цифр знаменателя (a2) дробного числа x₁.

Примеры использования

0:

1: |

5: ||||| (иногда  )

7: ||||| || или |||| ||

Применение

• в первом классе начальной школы
• при подсчёте голосов на выборах в малых группах
• в коллективных хозяйствах (для учёта трудодней)
• в телефонных центрах (для подсчёта количества отработанных вызовов)
• в тюрьмах и при отбывании воинской повинности (для подсчёта числа дней)
• Робинзоном Крузо для ведения календаря на необитаемом острове
• в домино при подсчёте очков
• Единичное кодирование
• Коды Голомба
• Машина Тьюринга
• в цифровой электронике одной унарной единице соответствует один инвертор с логикой на входе
• в дешифраторах
• в счётах, внутри одного разряда
• при фальсификации диагонального метода Кантора
• в вавилонской системе счисления применялось единичное кодирование десятичных цифр внутри шестидесятеричных разрядов

Единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование

Подобно двоично-десятичному кодированию, в обычной десятичной системе счисления внутри каждого разряда возможно единичнодесятичное (унарнодесятичное) кодирование, в котором каждой арабской цифре от «0» до «9» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «111111111».

Единичнодвоичное (унарнодвоичное) кодирование

В обычной двоичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно использование единичнодвоичного (унарнодвоичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «1» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «1».

Единичнотроичное (унарнотроичное) кодирование

В обычной троичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичнотроичного (унарнотроичного) кодирования, в котором каждой арабской цифре от «0» до «2» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «11».

Единичночетверичное (унарночетверичное) кодирование

В обычной четверичной системе счисления, применяемой в вычислительной технике, внутри каждого разряда возможно применение единичночетверичного (унарночетверичного) кодирования, в которой каждой арабской цифре от «0» до «3» соответствует свой единичный (унарный) код от "" до «111».

Единичные позиционные системы счисления

Если весовые коэффициенты b зависят от положения цифр (единиц) (b(k)=f(k)), то единичная система счисления является поместной (позиционной). Целое число в ней может быть записано в виде:

,

где:

b(k)=f(k) — числа весовой функции, весовые коэффициенты, зависящие от места (номера) цифры (единицы) в числе x_1,b.

Пример: при b_k=(k+1)
число 1₁ = 1*1 = 1₁₀,
число 11₁ = 1*2 + 1*1 = 3₁₀,
число 111₁ = 1*3 + 1*2 + 1*1 = 6₁₀,
число 1111₁ = 1*4 + 1*3 + 1*2 + 1*1 = 10₁₀.

При b(k)=f(k)=1 единичная система счисления может рассматриваться и как вырожденная поместная (позиционная) положительная целочисленная система счисления с основанием равным 1.

При межразрядной функции f(k)=b(k)=b^k образуются сдвоенные единичные показательные системы счисления:

,

в которых множество a{1}, из которого берутся a_k, равно 1, а основание межразрядной показательной функции не равно 1 (b≠1).

Дробные числа записываются в виде:

,

где:

m — число цифр дробной части числа x_1,b.

См. также

• 1 (число)
• Бит
• Трит
• Системы счисления

Примечания