Граф Дюрера — неориентированный кубический граф с 12 вершинами и 18 рёбрами. Граф назван именем Альбрехта Дюрера, чья гравюра «Меланхолия» (1514) содержала изображение так называемого многогранника Дюрера — выпуклого многогранника, имеющего граф Дюрера в качестве остова^[en]. Многогранник Дюрера является одним из четырёх возможных хорошо укрытых простых выпуклых многогранников.

Многогранник Дюрера

Многогранник Дюрера комбинаторно эквивалентен кубу с двумя усечёнными противоположными вершинами^[1], хотя на рисунке Дюрера он, скорее, нарисован как усечённый ромбоэдр или трёхгранный усечённый трапецоид^[2]. Точные геометрические свойства нарисованного Дюрером многогранника служат предметом академических споров, в которых предполагаются различные гипотетические значения (острых) углов от 72° до 82°^[3].

Свойства графа

Граф Дюрера является графом, образованным вершинами и рёбрами многогранника Дюрера. Граф является кубическим с обхватом 3 и диаметром 4. Поскольку граф является скелетом многогранника Дюрера, он может быть получен путём применения преобразования треугольник-звезда противоположных вершин графа куба или как обобщённый граф Петерсена ${\displaystyle G(6,2)}$. Как и любой другой граф выпуклого многогранника, граф Дюрера является вершинно 3-связным простым планарным графом.

Граф Дюрера является хорошо укрытым, что означает, что все его наибольшие независимые множества имеют одно и то же число вершин — четыре. Граф является одним из хорошо укрытых кубических многогранных графов и одним из семи хорошо укрытых 3-связных кубических графов. Другими тремя хорошо укрытыми простыми выпуклыми многогранниками являются тетраэдр, треугольная призма и пятиугольная призма^[4][5].

Граф Дюрера является гамильтоновым с LCF-обозначением [-4,5,2,-4,-2,5;-]^[6]. Точнее, граф имеет ровно шесть гамильтоновых циклов, каждая пара которых может быть отображена в любую другую симметриями графа^[7].

Симметрии

Группа автоморфизмов как графа Дюрера, так и многогранника Дюрера (в виде усечённого куба или в форме, представленной Дюрером) изоморфна диэдрической группе ${\displaystyle D_{6}}$ порядка 12.

Галерея

• Хроматический индекс графа Дюрера равен 3.

• Хроматическое число графа Дюрера равно 3.

• Граф Дюрера гамильтонов.

Примечания