Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции ) — семейство элементарных функций , определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям . Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x 2 − y 2 = 1обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x 2 + y 2 = 1arc является сокращением от arcus — дуга, тогда как префикс ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия гиперболический ареасинус , гиперболический ареакосинус и т. д.
В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.
Название функции
Обозначение в русской литературе
Обозначение в английской литературе
ареасинус
arsh
arsinh, sinh−1
ареакосинус
arch
arcosh, cosh−1
ареатангенс
arth
artanh, tanh−1
ареакотангенс
arcth
arcotanh, cotanh−1
ареасеканс
arsech
arsech, sech−1
ареакосеканс
arcsch
arcsch, csch−1
Определения функций
Гиперболический ареасинус для действительного аргумента
Гиперболический ареакосинус для действительного аргумента
Гиперболический ареатангенс для действительного аргумента
Гиперболический ареакотангенс для действительного аргумента
Гиперболический ареасеканс для действительного аргумента
Гиперболический ареакосеканс для действительного аргумента
В комплексной плоскости функции можно определить формулами:
гиперболический ареасинус
arsh
z
=
ln
(
z
+
z
2
+
1
)
;
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);}
гиперболический ареакосинус
arch
z
=
ln
(
z
+
z
+
1
z
−
1
)
;
{\displaystyle \operatorname {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,);}
гиперболический ареатангенс
arth
z
=
1
2
ln
(
1
+
z
1
−
z
)
;
{\displaystyle \operatorname {arth} \,z={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right);}
гиперболический ареакотангенс
arcth
z
=
1
2
ln
(
z
+
1
z
−
1
)
;
{\displaystyle \operatorname {arcth} \,z={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right);}
гиперболический ареасеканс
arsech
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
+
1
1
z
−
1
)
;
{\displaystyle \operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\,\right);}
гиперболический ареакосеканс
arcsch
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
2
+
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right).}
Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть
z
=
r
e
i
φ
/
2
,
{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2},}
z
z
=
r
e
i
φ
{\displaystyle z=re^{i\varphi }}
−
π
<
φ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }
логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например
x
+
1
x
−
1
=
x
2
−
1
,
{\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}},}
Разложение в ряд Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды :
arsh
x
=
x
−
(
1
2
)
x
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}
arch
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
−
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
2
n
(
2
n
)
,
x
>
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{aligned}}}
arth
x
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}
arcsch
x
=
arsh
1
x
=
x
−
1
−
(
1
2
)
x
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}
arsech
x
=
arch
1
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
2
n
,
0
<
x
≤
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{aligned}}}
arcth
x
=
arth
1
x
=
x
−
1
+
x
−
3
3
+
x
−
5
5
+
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}
Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой
arsh
x
=
ln
2
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
(
2
n
)
!
!
1
x
2
n
.
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}.}
Производные
d
d
x
arsh
x
=
1
1
+
x
2
.
d
d
x
arch
x
=
1
x
2
−
1
.
d
d
x
arth
x
=
1
1
−
x
2
.
d
d
x
arcth
x
=
1
1
−
x
2
.
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
(
x
+
1
)
1
−
x
1
+
x
.
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
x
2
1
+
1
x
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arch} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}.\\\end{aligned}}}
Для действительных x
d
d
x
arsech
x
=
∓
1
x
1
−
x
2
;
ℜ
{
x
}
≷
0.
d
d
x
arcsch
x
=
∓
1
x
1
+
x
2
;
ℜ
{
x
}
≷
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\end{aligned}}}
Пример дифференцирования: если θ = arsh x , то:
d
arsh
x
d
x
=
d
θ
d
sh
θ
=
1
ch
θ
=
1
1
+
sh
2
θ
=
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\operatorname {sh} \theta }}={\frac {1}{\operatorname {ch} \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}
Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций
sh
(
arch
x
)
=
x
2
−
1
,
|
x
|
>
1
;
sh
(
arth
x
)
=
x
1
−
x
2
,
−
1
<
x
<
1
;
ch
(
arsh
x
)
=
1
+
x
2
;
ch
(
arth
x
)
=
1
1
−
x
2
,
−
1
<
x
<
1
;
th
(
arsh
x
)
=
x
1
+
x
2
;
th
(
arch
x
)
=
x
2
−
1
x
,
|
x
|
>
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} (\operatorname {arch} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}},\quad \quad |x|>1;\\&\operatorname {sh} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arsh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}};\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {th} (\operatorname {arsh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}};\\&\operatorname {th} (\operatorname {arch} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\quad \quad |x|>1.\end{aligned}}}
Дополнительные формулы
arsh
u
±
arsh
v
=
arsh
(
u
1
+
v
2
±
v
1
+
u
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {arsh} \;u\pm \operatorname {arsh} \;v=\operatorname {arsh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right).}
arch
u
±
arch
v
=
arch
(
u
v
±
(
u
2
−
1
)
(
v
2
−
1
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {arch} \;u\pm \operatorname {arch} \;v=\operatorname {arch} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right).}
arth
u
±
arth
v
=
arth
(
u
±
v
1
±
u
v
)
.
{\displaystyle \operatorname {arth} \;u\pm \operatorname {arth} \;v=\operatorname {arth} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right).}
arsh
u
+
arch
v
=
arsh
(
u
v
+
(
1
+
u
2
)
(
v
2
−
1
)
)
=
arch
(
v
1
+
u
2
+
u
v
2
−
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \;u+\operatorname {arch} \;v&=\operatorname {arsh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arch} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right).\end{aligned}}}
2
arch
x
=
arch
(
2
x
2
−
1
)
,
x
≥
1
;
4
arch
x
=
arch
(
8
x
4
−
8
x
2
+
1
)
,
x
≥
1
;
2
arsh
x
=
arch
(
2
x
2
+
1
)
,
x
≥
0
;
4
arsh
x
=
arch
(
8
x
4
+
8
x
2
+
1
)
,
x
≥
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arch} x&=\operatorname {arch} (2x^{2}-1),&\quad \quad x\geq 1;\\4\operatorname {arch} x&=\operatorname {arch} (8x^{4}-8x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 1;\\2\operatorname {arsh} x&=\operatorname {arch} (2x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 0;\\4\operatorname {arsh} x&=\operatorname {arch} (8x^{4}+8x^{2}+1),&\quad \quad x\geq 0.\\\end{aligned}}}
См. также Источники
Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics , с. 207, Academic Press.
Ссылки
Inverse hyperbolic functions на сайте MathWorld
Inverse hyperbolic functions
