Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.

Определение

Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента , и для любого числа выполняется неравенство Йенсена:

Если это неравенство является строгим для всех , функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

NB! Иногда выпуклая функция определяется как вогнутая и наоборот.

Свойства

• Функция , выпуклая на интервале , непрерывна на всём , дифференцируема на всём за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти везде.
• Непрерывная функция выпукла на тогда и только тогда, когда для всех точек выполняется неравенство

• Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.
• Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция строго выпукла на , но её вторая производная в точке равна нулю).
• Если функции , выпуклы, то любая их линейная комбинация с положительными коэффициентами , также выпукла.
• Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).
• Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.
• Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:

    
где  — случайная величина со значениями в области определения функции ,  — математическое ожидание.