Несколько простых чисел могут быть членами арифметической прогресии.
Все последовательности простых чисел, являющихся строго последовательными элементами некоторой арифметической прогрессии, конечны, однако существуют сколь угодно длинные такие последовательности (см. Теорема Грина — Тао).
| длина | разность | последовательность |
|---|---|---|
| 3 | 2 | 3, 5, 7 |
| 5 | 6 | 5, 11, 17, 23, 29 |
| 6 | 30 | 7, 37, 67, 97, 127, 157 |
| 7 | 150 | 7, 157, 307, 457, 607, 757, 907 |
| 10 | 210 | 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 |
| 12 | 13860 | 110437, 124297, 138157, 152017, 165877, 179737, 193597, 207457, 221317, 235177, 249037, 262897 |
| 13 | 30030 | 14933623, 14963653, 14993683, 15023713, 15053743, 15083773, 15113803, 15143833, 15173863, 15203893, 15233923, 15263953, 15293983 |
По состоянию на апрель 2010 г., самая длинная из известных последовательностей такого типа имеет длину 26:
Можно потребовать, чтобы между соседними членами прогрессии не было других простых чисел, т. е. чтобы прогрессия представляла собой часть общей последовательности простых чисел.
| длина | разность | последовательность |
|---|---|---|
| 3 | 2 | 3, 5, 7 |
| 4 | 6 | 251, 257, 263, 269 |
| 5 | 30 | 9843019, 9843049, 9843079, 9843109, 9843139 |
| 6 | 30 | 121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961 |
Самые длинные из известных последовательностей такого типа имеют длину 10.
Арифметические прогрессии из простых чисел.